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14_80 点と直線 / 点の距離

座標上の2点間の距離を求める公式とその証明

著者名: ふぇるまー
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座標上の2点間の距離を求める公式

数直線上の2点間の距離が理解できたら、次は、座標上の2点間の距離を求める方法をみていきます。
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座標上の2点間の距離とは、上図のようなA(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)の距離"AB"のことを指します。この長さを求める公式があるので、これも覚えてしまいましょう。



証明

この公式は、三平方の定理を用いることで証明できます。

ABが、x軸とy軸、どちらとも並行ではないとします。
このとき、図のような△ABCを作ります。(ABは、△ABCの斜辺にあたります)

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△ABCにおいてACとBCの長さはそれぞれ、

AB=|x₂−x₁|
BC=|y₂−y₁|

とできるので、△ABCに三平方の定理を用いると、

AB²=AC²+BC²=|x₂−x₁|²+|y₂−y₁|²

ここで絶対値の性質より"|a|²=(a)²"なので、

|x₂−x₁|²+|y₂−y₁|²=(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²

と式を変形できます。
AB>0より



となり、公式を求めることができました。

練習問題

次の2点間の距離を求めなさい。
(1) O(0,0)とA(3,2)
(2) A(−3,−1)とB(2,3)
(3) A(−2,−2)とB(−1,−1)


(1) O(0,0)とA(3,2)


より




(2) A(−3,−1)とB(2,3)


より




(3) A(−2,−2)とB(−1,−1)


より




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・座標上の2点間の距離を求める公式とその証明

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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