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14_80 円 / 円と直線の関係

円と直線の交わる点の数

著者名: OKボーイ
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円の問題で
とある直線があったときに、この直線と円の交点はいくつでしょうか

という問題があります。可能性としては以下の3つがあります。

交点が2つある場合

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交点が1つの場合

交点が1つしかないとき、円と直線は接しているといいます。
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交点が1つもない場合

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「交点の数を求めよ」というややこしい問題ですが、簡単に判別する方法を説明します。

仮に以下のような円と直線があったとします。

円   …①
直線 …②

①と②の式を使って、yを消去して の形の式をつくります。
すると  …③

ここでフォーカスを少し変えます。
みなさんは判別式を覚えていますか?
2次方程式の解の数を求めるときの というやつです。
2次方程式の解の数は、この判別式Dが0より大きいか、小さいかで求めることができましたね


円と直線との交点の数も、この2次方程式の判別式と同じ要領で求めることができます。

すなわち③の式において、
判別式D>0であれば交点の数は2個
D=Oならば交点は1個
D<0ならば交点はなしとなります

改めて覚える必要はありません。2次方程式と同じです。
③の式を使って交点の数を求めるならば



すなわちD>0なので、交点の数は2個となります。
円の方程式と直線の方程式を使って、お互いのyを消し の式を作るというのがポイントです。



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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版 

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