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12_80 図形と計量 / 三角形/多角形の面積・内接円/外接円・空間図形

空間図形に含まれる三角形の面積を求める問題[直方体]

著者名: ふぇるまー
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空間図形に含まれる三角形の面積


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図のような直方体があるとき、AB=2、AD=3、AE=1とする。△AFCで切り取ったとき、この△AFCの面積Sを求めなさい。


まず△AFCで切り取るとどのような三角形になるのか図示してみましょう。

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「げっ!」と焦る必要はありません。三角形の面積を求めるために、今まではどのように問題を解いていたでしょうか。

底辺×高さ÷2






いろいろありますね。ここでは、与えられた条件から、「サインを使って三角形の面積を求める公式」を使うのがよさそうです。

では、この公式を△AFCに適用するには、どのような数値が必要かを考えましょう。
△AFCの3辺の長さは求めることができるので、余弦定理を用いて、cosCAF、cosACF、cosAFCのいずれかを求めることができそうですね。そこから、sin²A+cosA²=1"の公式を用いてsinの値を求めることもできそうです。

AC、AF、FCの長さ

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ではまず、AC、AF、FCの長さを求めます。

△ACDに三平方の定理を使うと、

AC ²=AD ²+CD ²=9+4=13
AC=√13

同様にして、AF=√5、CF=√10


続いて△AFCに、余弦定理を用います。今回は、∠CAFに注目をして解いてみます。

"CF²=AC²+AF²−2・AC・AF・cosCAF"より、



これを整理すると



次に、sin²A+cosA²=1"の公式を用いて



0°<∠CAF<180°の範囲では"sinCAF>0"なので、



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以上の計算から、△AFCのAFとACの長さ、そしてsinCAFの値がわかったので、サインを使って三角形の面積を求める公式より、



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・空間図形に含まれる三角形の面積を求める問題[直方体]

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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