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12_80 図形と計量 / 三角形/多角形の面積・内接円/外接円・空間図形

円に内接する四角形の面積をサインを使って求める問題

著者名: ふぇるまー
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円に内接する四角形

円に内接する四角形ABCDにおいて、"AB=4、BC=3、CD=1、∠ABC=60°"のとき、ADの長さと四角形ABCDの面積Sを求めなさい。


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与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)

四角形の面積を求める方法を学習していない!!」と焦ることはありません。

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四角形ABCDは、ACに補助線を引くことで△ABCと△ACDに2分することができ、それぞれの三角形の面積を求めて足し合わせることで、四角形の面積を求めることができます。

こう考えたら、少しは問題を解ける気がしませんか?

ADの長さ

まずはADの長さから求めましょう。

ADを求めるには、△ACDに正弦定理、もしくは余弦定理を用いる必要があります。

正弦定理の場合、例えば



となるでしょうが、与えられた数値だけでは∠ACDの値を求めることはできないので、正弦定理を用いることは難しそうです。では、余弦定理はどうでしょうか。

AC²=AD²+DC²−2・AD・DC・cosACD ー①

四角形ABCDは円に内接しているので、"∠ACD=180°−60°=120°"です。なので、ACの長さがわかれば与えられた条件で"AD"の長さを求めることができそうですね。というわけで、まずはACの長さを求めましょう。


△ABCに余弦定理を適用すると、

AC²=4²+3²−2・4・3・cos60°

AC²=16+9−24・1/2

AC²=13

"AC>0"より、"AC=√13"と求まりました。
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これを①に代入します。

13=AD²+1²−2・AD・1・cos120°

AD²+AD−12=0

(AD+4)(AD−3)=0

"AD>0"より、"AD=3"。

四角形ABCDの面積S

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サインを使って三角形の面積を求める公式を使って△ABCの面積S1と、△ACDの面積S2を求めて、それらを足し合わせていきます。



これを整理すると






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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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