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12_80 図形と計量 / 正弦定理・余弦定理

正弦定理と余弦定理を使った練習問題一覧

著者名: ふぇるまー
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正弦定理と余弦定理を使った問題

正弦定理余弦定理を両方使って、三角形の角度の大きさや辺の長さを求める問題を解説していきます。随時更新予定です。

問題1

△ABCにおいて、"a=1+√3、b=2、∠C=60°"のとき、cの長さと∠A、∠Bの大きさを求めなさい。


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与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)

cの長さ

△ABCに余弦定理を用います。

"c²=a²+b²−2ab・cosC"より

c²=(1+√3)²+2²−2・2・(1+√3)・cos60°

c²=4+2√3+4−4(1+√3)・1/2

c²=8+2√3−2−2√3

c²=6

cは三角形の辺の長さなので"c>0"だから

c=√6

∠A、∠Bの大きさ

次に△ABCに正弦定理を用います。



に与えられた値を代入していきます。







よってBは"45°"または"135°"と予想ができます。
ここで、△ABCの3辺の大小関係についてみてみましょう。

"a=1+√3、b=2、c=√6"なので、"b<c<a"ですね。
このことから"∠B<∠C<∠A"であることがわかります。

つまり、∠Bの大きさは∠Cよりも大きくなることはありません。
(∠Cの大きさは設問より60°)

先ほどBは"45°"または"135°"と求まりましたが、このことによって"∠B=45°"となります。

残りは∠Aの大きさですね。

∠A=180°ー(45°+60°)=105°


以上から、"c=√6、∠A=105°、∠B=45°"

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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