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14_80 点と直線 / 内分点/外分点

直線上における内分点と外分点

著者名: OKボーイ
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内分と外分

ここでは直線における内分外分について説明したいと思います。

内分

下図のように直線ABがあったときに、この直線ABをm:nにわける点Pがあったとします。このように直線ABを内側で2つにわける点Pのことを、直線ABの内分点であるといいます。そして、この点Pは直線ABをm:nに内分する点であるというように表記します。
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実際に問題を解いてみましょう。例えば次のような問題。

点A(1)、点B(5)を結ぶ直線ABを3:1に内分する点P(x)を求めなさい。


点A?点B?と頭が混乱してしまった人は、直線ではなく座標軸で考えてみるとわかりやすいかもしれません。
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図のように、x軸上の点A(1)と点B(5)を3:1に内分する点Pを求めなさいと考えてもいいかもしれませんね。


ABを3:1に内分するということは、AP:PB=3:1であると書き換えることができます。
また、ABの距離は4ですので(5-4=1)以上のことから点Pは(4)ということになります。

求め方はいくつかありますが
AP+PB=4 …①
AP:PB=3:1より、AP=3PB …②
②を①に代入して、4PB=4 
よってPB=1

このことから、点B(5)から1だけ点Aによった点が点Pになるというわけです。

以上のように図を書いてひとつひとつ求めることはできるのですが、これだと時間がかかりすぎてしまいます。そこで、内分点を求める公式というものが存在しますので、覚えておくと便利です。

2つの点、A(a)とB(b)を結ぶ直線ABをm:nに内分する点Pがあった場合、P(x)は



で求めることができる。


実際に先ほどの例に当てはめてみましょう。
点A(1)と点B(5)を3:1に内分する点P(x)を求めるので、公式に当てはめて


ということで、先ほどと同じ答えになりましたね。

次は外分点

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チャート式 数学ⅡB
『教科書 数学Ⅱ』 数研出版 

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