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12_80 図形と計量 / 正弦定理・余弦定理

鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形かを調べる方法

著者名: ふぇるまー
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鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形かを調べる方法

三角形の性質として、次のことが知られています。

△ABCの2つの角AとBに注目したとき、"∠A>∠B"であれば、それに対応する辺aとbの大小関係もまた"a>b"。

※角Bと角C、角Aと角Cに注目したときも同じ。

このことから、△ABCで一番長い辺に対応する角が、その三角形の中で一番大きい、つまり△ABCの最大角であることがわかります。

ということは、三角形の最大角の大きさを調べることで、その三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形かを判別できますね。


鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形

ちなみに、三角形の中のすべての角が鋭角である三角形を鋭角三角形、三角形の1角が直角である三角形を直角三角形、三角形の1角が鈍角である三角形を鈍角三角形といいます。

練習問題

△ABCにおいて、∠A、∠B、∠Cにそれぞれ対応する辺が、"a=3、b=4、c=7"のとき、△ABCは鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれであるかを調べなさい。


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与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)

"a=3、b=4、c=7"より、"a<b<c"なので、∠Cがこの三角形の最大角となります。つまり∠Cが鋭角か、直角か、それとも鈍角かを調べることで、この三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれであるかを調べることができます


∠Cについて考えるので、"c²=a²+b²−2ab cosC"の余弦定理で考えてみましょう。



分母の"2ab"はつねに"2ab>0なので、"cosCの大きさを調べるためには、"a² +b² −c² "の値を確認すればよいことがわかります。

a² +b² −c² =3²+4²−7²=9+16−49=−24<0


"a² +b² −c²<0"ということは、"cosC<0"ということなので、∠Cは90°より大きい角となります。つまり∠Cは鈍角です。

このことから、△ABCは鈍角三角形であるといえます。


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・鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形かを調べる方法

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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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