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12_80 図形と計量 / 正弦定理・余弦定理

三角形の辺の長さと角の大きさの関係

著者名: ふぇるまー
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辺の長さと角の大きさの関係

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△ABCに余弦定理を使うと、



これを変形すると



a、b、cは辺の長さなので当然"a>0、b>0、c>0"ですから"2bc>0"。このことから"cosA"が

・"cosA>0"であれば"b² +c² −a² >0"
・"cosA=0"であれば"b² +c² −a² =0"
・"cosA<0"であれば"b² +c² −a² <0"

この逆もまた然りです。
以上のことをまとめると、

・"cosA>0"すなわち"A<90°" ⇄ "b² +c² −a² >0"
・"cosA=0"すなわち"A=90°" ⇄ "b² +c² −a² =0"
・"cosA<0"すなわち"A>90°" ⇄ "b² +c² −a² <0"


ではこの性質を利用してなにがわかるのかというと、三角形の辺の長さの関係によって、当該の角が鋭角か、直角か、鈍角かを判別することができます。

練習問題

△ABCにおいて、∠A、∠B、∠Cにそれぞれ対応する辺が、"a=3、b=4、c=7"のとき、∠Cは鋭角、直角、鈍角のいずれであるかを調べなさい。


∠Cについて考えるので、"c²=a²+b²−2ab cosC"の余弦定理で考えてみましょう。



cosCの大きさを調べるためには、"a² +b² −c² "の値を確認すればよいことがわかります。

a² +b² −c² =3²+4²−7²=9+16−49=−24<0


"a² +b² −c²<0"ということは、"cosC<0"ということなので、∠Cは90°より大きい角となります。つまり∠Cは鈍角です。


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・三角形の辺の長さと角の大きさの関係

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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