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14_80 点と直線 / 点と直線の距離

座標上における2点間の距離

著者名: OKボーイ
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上図のような点A(x1,y1)、点B(x2,y2)の2点間の距離を求めよという問題があったとします。このとき、ABの距離の求め方は


という公式で求めることができます。

今回はなぜこの公式で求めることができるのかを証明したいと思います。
証明

まず、考えやすくするために与えられた座標に補助線をひきます。
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点A、点Bからそれぞれx軸、y軸に垂直、平行になるような補助得線をひきます。そして、点Aからx軸に平行にひいた線と、点Bからx軸に垂直にひいた線の交点をC(x2,y1)とします。このとき三角形ABCにおいて、∠ACB=90°
であることが言えますね。
つまりABは直角三角形ABCにおける斜辺ということになります。
あれ?直角三角形の斜辺を求める公式って何かありませんでしたっけ?


そうです、三平方の定理(ピタゴラスの定理)です。
というやつですね。

この定理にあてはめてABの長さを求めます。




ですので、(絶対値をつけるのは、点A、点Bが必ずしも第1象限にあるとは限らないからです。)これを三平方の定理に当てはめて



ここでAB>0であることから


が求められます。

公式が証明できましたね。この2点間を求める問題は、今後応用も含めてたくさんでてきますので、しっかりと頭の中にいれておくようにしてくださいね。
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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版 
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