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12_80 図形と計量 / 正弦定理・余弦定理

[公式]余弦定理とその証明"∠Aが鈍角の場合"

著者名: ふぇるまー
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余弦定理の証明

余弦定理を証明するためには、△ABCにおいて次の3パターンを考える必要があります。

・∠Aと∠Bが鋭角の場合
・∠Aが鈍角の場合
・∠Bが鈍角の場合


ここでは、∠Aが鈍角の場合についての証明を行います。
("∠Aと∠Bが鋭角の場合"、"∠Bが鈍角の場合")

∠Aが鈍角の場合

ALT


∠Aが鈍角な三角形を図示するとこのようになります。
この三角形で余弦定理を証明するために、次のように△ABCを座標上で考えるとします。

ALT


AとBの座標はそれぞれ"A(0,0)、B(c,0)"とわかりますが、Cの座標がぱっと見ではわからないので、まずはcの座標を求めるとします。

点Cからx軸に向かって垂線をおろし、x軸との交点をHとします。

ALT


このとき△ACHでサインとコサインを考えると


整理すると
CH=sin ∠CAH・AC=b sin ∠CAH

∠CAH=180°−∠Aより
CH=b sin ∠CAH=b sin(180°−∠A)=b sin A


整理すると
AH=cos ∠CAH・AC=b cos∠CAH

∠CAH=180°−∠Aより
AH=b cos∠CAH=b cos(180°−∠A)=−b cosA

Hのx座標はマイナスですが、AHの長さは正なので、"−b cosA>0"つまり"b cosA<0"となります。わかりにくいですがおさえておきましょう。


以上から、点Cの座標はC(b cosA,b sinA)であることがわかりました。

ALT


次に、△BCHに三平方の定理を適応します。

BC²=CH²+BH²

・"BC=a"
・CHはCのy座標に等しいので、"CH=b sinA"
・BH=BA+AHより、"BH=c−b cosA"

a²=(b sinA)²+(c−b cosA)²
a²=b² sin²A+c²−2bc cosA+b² cosA²
a²=b²(sin²A+cosA²)+c²−2bc cosA

このとき、三角比の公式より
"sin²A+cosA²=1"なので

a²=b²(sin²A+cosA²)+c²−2bc cosA
a²=b²+c²−2bc cosA

∠Bと∠Cにおいても同様にして公式を導くことができます。

以上から、∠Aが鈍角の場合に余弦定理が成り立つことが証明されました。
次のテキストでは、∠Bが鈍角の場合の証明をしていきます。

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・[公式]余弦定理とその証明"∠Aが鈍角の場合"

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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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