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14_80 式と証明 / 恒等式/等式の証明

3次方程式の解と係数の関係とその証明

著者名: ふぇるまー
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3次方程式の解と係数の関係

3次方程式"ax³+bx²+cx+d=0"の3つの解を"α、β、γ"としたとき、次のことが成り立ちます。






ではこれを証明してみましょう。

3次方程式の解と係数の関係の証明

3次方程式"ax³+bx²+cx+d=0"の3つの解が"α、β、γ"ということは

ax³+bx²+cx+d=a(x−α)(x−β)(x−γ)

と変形できますね。
この右辺を展開して整理します。

 a(x−α)(x−β)(x−γ)
=a{x²−(α+β)x+αβ(x−γ)}
=a{x³−γx²−(α+β)x²+(α+β)γx+αβx−αβγ}
=a{x³−(α+β+γ)x²+αγx+βγx+αβx−αβγ}
=a{x³−(α+β+γ)x²+(αγ+βγ+αβ)x−αβγ}


次に左辺を変形します。



左辺=右辺ということは、両辺の同じ次数をもつ項の係数が同じということになるので、

b/a=−(α+β+γ)
c/a=(αγ+βγ+αβ
d/a=−αβγ

これらを整理すると、





が成り立つ事がわかりますね。

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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