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12_80 数と式/集合 / 実数/絶対値/平方根

絶対値の性質の証明

著者名: ふぇるまー
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絶対値の性質

ここでは、次の4つの絶対値の性質を証明しています。

xを実数とするとき
|x|≧0
|x|≧x
|x|≧−x
|x|²=x²

|x|≧0の証明

x≧0、x<0の2通りにわけて考えます。

x≧0のとき

x≧0のとき、どんな実数でも

|x|=x

となります。"x≧0"なので、

|x|=x≧0 ・・・①

が成り立ちます。

x<0のとき

x<0のとき、どんな実数でも

|x|=−x

となります。"x<0"なので、−xはプラスですね。
このことから、

|x|=−x>0 ・・・②

が成り立ちます。①と②をあわせて、どんな実数xについても"|x|≧0"が成り立つことがわかりました。


|x|≧xの証明

x≧0、x<0の2通りにわけて考えます。

x≧0のとき

x≧0のとき、どんな実数でも

|x|=x ・・・①

"|x|≧x"の等号が成り立っているので、x≧0のとき"|x|≧x"が成り立つといえます。

x<0のとき

x<0のとき、どんな実数でも

|x|=−x

となります。x<0なので、"−x>0"ですね。このことから、

|x|=−x>0 ・・・②

①と②をあわせて、どんな実数xについても"|x|≧x"が成り立つことがわかりました。

|x|≧−xの証明

x≧0、x<0の2通りにわけて考えます。

x≧0のとき

x≧0のとき、どんな実数でも

|x|=x

となりますが、x≧0のときは必ず、"x≧−x"となりますよね。
よって

|x|=x≧−x ・・・①

x<0のとき

x<0のとき、どんな実数でも

|x|=−x ・・・②

となります。"|x|≧−x"の等号が成り立っているので、x<0のとき"|x|≧−x"が成り立つといえます。

①と②をあわせて、どんな実数xについても"|x|≧−x"が成り立つことがわかりました。


|x|²=x²の証明

x≧0、x<0の2通りにわけて考えます。

x≧0のとき

x≧0のとき、どんな実数でも

|x|=x

となるので、両辺を2乗してもその等式は成り立ちます。

|x|²=x²

x<0のとき

x<0のとき、どんな実数でも

|x|=−x

となります。両辺を2乗すると、

|x|²=(−x)²=x²

以上から、どんな実数xについても"|x|²=x²"が成り立つことがわかりました。

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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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