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14_80 式と証明 / 恒等式/等式の証明

連比が条件の等式の証明

著者名: ふぇるまー
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連比とは



これを変形させると、"a:b:c=x:y:z"となります。このとき、"a:b:c"を、"a、b、cの連比"といいます。連比は、"a:b:c"のように、3数以上のときに用いる言葉で、"a:b"では連比にはなりません。

問題1:等式の証明

"a:b:c=1:2:3"のとき、次の等式を証明しなさい。
a²:b²:c²=1:4:9


比例式を定数kを用いて表す

連比が条件である場合も、比例式が条件である場合と同様に、定数kを用いて条件を変形させていきます。

"a:b:c=1:2:3"ということは"a=k、b=2k、c=3k"とおくことができますね。
(※"a:b:c=k:2k:3k=1:2:3"となるため。)

このとき"a²:b²:c²"は

a²:b²:c²=(k)²:(2k)²:(3k)²=k²:4k²:9k²=1:4:9

となります。以上から、この等式が成り立つことが証明されました。


問題2:値を求める

"a:b:c=1:2:3"、"a+b+c=36"のとき、a、b、cの値を求めなさい


今度は「証明問題」ではなくて、「a、b、cの値を求める問題」が出てきました。解き方は問題1と同じで、連比を定数kを用いて表してから解いていきます


"a:b:c=1:2:3"ということは"a=k、b=2k、c=3k"とおくことができますね。(問題1と同じです。)これを、"a+b+c=36"に代入します。

a+b+c=k+2k+3k=6k=36

これを解くと、"k=6"が求まります。
あとはk=6を"a=k、b=2k、c=3k"に代入するだけです。

"a=6、b=12、c=18"が答えとなります。


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・連比が条件の等式の証明

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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