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14_80 式と証明 / 恒等式/等式の証明

わかりやすい等式の証明[恒等式]

著者名: ふぇるまー
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等式の証明

次の等式を証明せよ。
x³+y³=(x+y)³−3xy(x+y)


この「証明せよ」とはどういうことかというと、「左辺=右辺がきちんと成り立っているかを確認しなさい」ということです。
"A=B"という等式を証明するためには、

1:Aを変形させてBとなるか、またはBを変形させてAとなるかを確認する

2:Aを変形させたものと、Bを変形させたものが等しいかを確認する

3:"A−B=0"、または"B−A=0"となるかを確認する


この3つのいずれかを行います。
証明の方法がわかったところで、先ほどの問題に取り組んでみましょう。

"x³+y³=(x+y)³−3xy(x+y)"の証明

1の方法で証明

まずは1の方法で証明をしてみましょう。

右辺"(x+y)³−3xy(x+y)"を変形して、左辺"x³+y³"となるかを確認します。

 (x+y)³−3xy(x+y)
=x³+3x²y+3xy²+y³−3x²y−3xy²
=x³+y³
=左辺

以上から、左辺=右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。

2の方法で証明

続いて2の方法で証明をしてみましょう。
左辺"x³+y³"と右辺"(x+y)³−3xy(x+y)"をそれぞれ変形します。

○左辺:
x³+y³=(x+y)(x²−xy+y²)

○右辺:
 (x+y)³−3xy(x+y)
=(x+y){(x+y)²−3xy}
=(x+y)(x²+2xy+y²−3xy)
=(x+y)(x²−xy+y²)

以上から、左辺=右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。

3の方法で証明

最後に3の方法で証明をしてみましょう。
"左辺−右辺=0"となるかを確認します。

 x³+y³−{(x+y)³−3xy(x+y)}
=x³+y³−(x³+3x²y+3xy²+y³−3x²y−3xy²)
=x³+y³−(x³+y³)
=0

左辺−右辺=0なので、この等式が成り立つことが証明されました。


まとめ

3通りの証明方法がありますが、自分の得意な形を選ぶか、問題をみて、一番簡単に証明ができる方法を選択するのが良いでしょう。

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・わかりやすい等式の証明[恒等式]

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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