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14_80 式と証明 / 恒等式/等式の証明

恒等式の基本[恒等式とは]

著者名: ふぇるまー
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恒等式

"(x+y)²"を展開してみましょう。

(x+y)²=x²+2xy+y²

この式は、xとyにどんな値を入れても成り立ちます。そのような等式のことを恒等式といいます。

"(x+y)²=x²+2xy+y²"の右辺は、左辺を展開することで求められます。このような等式はすべて恒等式といえます。一方で、"x+y=a+b"は、x、y、a、bに入れる数字を選ばなければ成り立ちません。このような等式は恒等式ではないといえます。

<恒等式の性質>
ax²+bx+c=a'x²+b'x+c'がxについての恒等式である
⇄a=a'、b=b'、c=c'

※なんだか複素数の相等に似ていますね。

練習問題

"(a+1)x²+(a−b)x+4=−4x+4"
がxについての恒等式となるように、定数aとbの値を定めてみましょう。


"(a+1)x²+(a−b)x+4=−4x+4"がxについての恒等式となるのは、左辺と右辺の同じ次数の項の係数が等しくなるときなので

・a+1=0
・a−b=−4

の2式が導けます。これを解くとa=−1、b=3


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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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