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14_80 高次方程式 / 高次方程式

因数定理を使った4次方程式の解き方

著者名: ふぇるまー
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4次方程式の解き方

次の4次方程式を解いてみましょう。
x⁴+x³−7x²−x+6=0


因数定理を用いた3次方程式の解き方と同じように、"P(x)=x⁴+x³−7x²−x+6"として、"P(x)=0"となるxの値がないかを探ります。すると、x=1のときに

P(1)=1+1−7−1+6=0

となるので、"P(x)=x⁴+x³−7x²−x+6"は、"x−1"を因数に持つことがわかります。ここがわからない人は、因数定理を用いた因数分解を復習しましょう。

P(x)÷(x−1)よりP(x)は、

x⁴+x³−7x²−x+6=(x−1)(x³+2x²−5x−6)

と因数分解できます。しかし"x³+2x²−5x−6"がさらに因数分解できそうなので、これで終わりとはいえないですね。そこで今度は、"Q(x)=x³+2x²−5x−6"として、"Q(x)=0"となるxの値がないかを探ります。すると、x=−1のときに

Q(x)=−1+2+5−6=0

となるので、"Q(x)=x³+2x²−5x−6"は、"x+1"を因数にもつことがわかります。これよりQ(x)は

x³+2x²−5x−6=(x−1)(x²+x−6)

と因数分解できます。また"x²+x−6"は、"x²+x−6=(x−2)(x+3)"と因数分解できます。以上のことから

x⁴+x³−7x²−x+6=(x+1)(x−1)(x−2)(x+3)

問題は、「"(x+1)(x−1)(x−2)(x+3)=0"を解け」なので、
x=1、−1、2、−3がこの4次方程式の解となります。


この問題でみたように、因数定理を繰り返すことで、どんなに次数の多い方程式でも因数分解をすることができます。高次方程式は、因数分解を重ねることで解く事ができることを覚えておきましょう。

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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