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14_80 高次方程式 / 高次方程式

高次方程式の解と係数の関係(解が実数の場合)

著者名: ふぇるまー
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高次方程式の解と係数の関係

方程式の解から、高次方程式を求める問題を解いてみましょう。

3次方程式"x³−ax²+bx+6=0"が、"x=−1、x=2"を解にもつとき、実数aとbの値と、3次方程式のもう1つの解を求めてみよう。


この問題を考える前に、次の問題をみてみます。
2次方程式"x²−ax+2=0"の解の1つがx=1のとき、aの値を求めなさい。


"x=1"を与えられた式に代入することでaの値が求められますよね。3次方程式でもこの考えは同じです。

aとbの値を求める

3次方程式"x³−ax²+bx+6=0"の解が、"x=−1、x=2"なので、これらを式に代入していきます。

x=−1のとき

(−1)³−a(−1)²−b+6=0
−1−a−b+6=0
a+b=5 ー①

x=2のとき

2³−a・2²−2b+6=0
8−4a−2b+6=0
−4a−2b=−14
2a−b=7 ー②

①と②より"a=4、b=1"

以上より、もとの3次方程式は"x³−4x²+x+6=0"と求まりました。

3次方程式の解を求める

続いてこの方程式の解を求めていきます。

この方程式は、"x=−1"と"x=2"を解にもつことから、(x+1)と(x−2)を因数にもつことがわかります。ここがポイントです。つまり左辺が


x³−4x²+x+6=(x+1)(x−2)(x+k)

と因数分解できるはずです。(x+k)はあくまでも例えです。

(x+k)=x³−4x²+x+6÷(x+1)(x−2)=x−3

よって方程式の左辺は次のように因数分解できます。

x³−4x²+x+6=(x+1)(x−2)(x−3)

そして"(x+1)(x−2)(x−3)=0"を満たすxの値は、"x=−1、2、3"なので、求めるもう1つの解は"3"となります。



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・高次方程式の解と係数の関係(解が実数の場合)

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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