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14_80 高次方程式 / 高次方程式

因数定理を使った高次方程式の解き方

著者名: ふぇるまー
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高次方程式とは

整式P(x)=2x²+3x+4のとき、
"P(x)=2x²+3x+4=0"
これは2次式ですね。

整式P(x)=3x³+3x²+2x+1のとき、
"P(x)=3x³+3x²+2x+1=0"
これは3次式ですね。

P(x)がn次の式のとき、"P(x)=0"のことをn次式方程式といいます。その中でも特に、nが3次以上の方程式を高次方程式といいます。そしてこの単元では、高次方程式を解く方法についてみていきます。

因数定理を用いた高次方程式の解き方

高次方程式を解くには、
・因数分解の公式を用いて因数分解してから計算
因数定理を用いて因数分解してから計算

の2パターンがありますが、ここでは因数定理を用いた高次方程式の解き方をみていきます。因数分解を用いた高次方程式の解き方については、リンク先を参照してください。

次の方程式を解きなさい。
(1) x³+3x²+x−5=0
(2) x³−3x²+4=0



(1) x³+3x²+x−5=0

"P(x)=x³+3x²+x−5"とすると、"x=1"のときに

"P(1)=1+3+1−5=0"となります。よって因数定理により

P(x)=(x−1)(x²+4x+5)

と左辺を因数分解することができました。

(x−1)(x²+4x+5)=0

この方程式を満たすxの値は、"x−1=0"または"x²+4x+5=0"を満たすxの値となります。

・x−1=0
x=1

・x²+4x+5=0
解の公式より、
x=−2± i

以上から、"x=1、−2± i"が答えとなります。


(2) x³−3x²+4=0

"P(x)=x³−3x²+4"とすると、"x=−1"のときに

"P(−1)=−1−3+4=0"となります。よって因数定理により

P(x)=(x+1)(x²−4x+4)=(x+1)(x−2)²

と左辺を因数分解することができました。

(x+1)(x−2)²=0

この方程式を満たすxの値は、"x+1=0"または"(x−2)²=0"を満たすxの値となります。

・x+1=0
x=−1

・(x−2)²=0
x=2

以上から、"x=−1、2"が答えとなります。


2重解

ちなみに、"(x+1)(x−2)²=(x+1)(x−2)(x−2)=0"なので、この式からは"x=2"を2回求めることができますよね。このような解のことを2重解といいます。

"(x+1)(x−2)³=0"の場合は、"x=2"を3回求めることができるので、3重解といいます。


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・因数定理を使った高次方程式の解き方

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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