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14_80 高次方程式 / 高次方程式

因数分解の公式を使った高次方程式の解き方

著者名: ふぇるまー
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高次方程式とは

整式P(x)=x²+2x+3のとき、
"P(x)=x²+2x+3=0"
これは2次式ですね。

整式P(x)=x³+x²+x+1のとき、
"P(x)=x³+x²+x+1=0"
これは3次式ですね。

P(x)がn次の式のとき、"P(x)=0"のことをn次式方程式といいます。その中でも特に、nが3次以上の方程式を高次方程式といいます。そしてこの単元では、高次方程式を解く方法についてみていきます。


因数分解の公式を用いた高次方程式の解き方

高次方程式を解くには、
・因数分解の公式を用いて因数分解してから計算
因数定理を用いて因数分解してから計算

の2パターンがありますが、ここでは因数分解の公式を用いた高次方程式の解き方をみていきます。

次の方程式を解きなさい。
(1) x³=64
(2) x⁴=1


(1) x³=64

与えられた式を変形すると、"x³−64=0"

この左辺に、3乗の多項式の因数分解の公式を当てはめます。

x³−64=(x−4)(x²+4x+16)=0

この方程式を満たすxの値は、"x−4=0"または"x²+4x+16=0"を満たすxの値となります。

x−4=0より、"x=4"

x²+4x+16=0には解の公式を用いて、"x=−2±2√3 i"

以上から、"x=4、−2±2√3 i"が答えとなります。


(2) x⁴=1

ではもう1問やってみましょう。
与えられた式を変形すると、"x⁴−1=0"。

この左辺は3次式ではないので、因数分解の公式をそのまま当てはめることができませんね。そんなときは、工夫して因数分解をしたこと、または複2次式の因数分解を思い出してみましょう。

"x²=A"とおくと、"x⁴−1=0"は、"A²−1=0"となります。

A²−1=0
(A+1)(A−1)=0
(x²+1)(x²−1)=0
(x²+1)(x+1)(x−1)=0

この方程式を満たすxの値は、"x²+1=0"、"x+1=0"または"x−1=0"を満たすxの値となります。

・x²+1=0
x²=ー1
x=±i

・x+1=0
x=−1

・x−1=0
x=1

以上から、x=±1、±iが答えとなります。


いま見てきて気づいた人もいるかもしれませんが、n次方程式の答えの数はn個になります。3次方程式式(1)の答えの数は3個、4次方程式(2)の答えの数は4個ですね。

特に3次方程式の答えに関してですが、"x³=a"の解を、aの3乗根(または立方根)といいます。今回の問題"x³=64"を満たす解"x=4、−2±2√3 i"は、64の3乗根といいます。


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・因数分解の公式を使った高次方程式の解き方

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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