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14_80 高次方程式 / 剰余の定理と因数定理

テストによく出る因数定理の問題一覧・まとめ

著者名: ふぇるまー
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因数定理の練習問題

ここでは、因数定理に関する様々な形の問題の解説をしています。あなたがわからないタイプの問題もきっと扱っているはずです。

問題1

整式"P(x)=x³+6x²+kx−12"が( x+4)で割り切れるように、定数kの値を求めてみましょう。


早速因数定理を用います。P(x)が"x+4"で割り切れるということは、"P(−4)=0"ということですね。ここに気がつけるかがポイントです。

P(−4)=(−4)³+6(−4)²−4k−12=0

−64+96−4k−12=0
−4k+20=0
4k=20
k=5

これが正しいかどうかは、"k=5"を代入した式が、"x+4"で割り切れるかを計算してみればわかります。

x³+6x²+5x−12=(x+4)(x²+2x−3)=()x+4(x−1)(x+3)

となるので、きちんと割り切れますね!
よって答えは、"k=5"となります。


問題2

整式"P(x)=x³−m²x²+4x+m+1"が( x−1)で割り切れるように、定数mの値を求めてみましょう。


因数定理を用います。P(x)が"x−1"で割り切れるということは、"P(1)=0"ということですね。ここに気がつけるかがポイントです。

P(1)=1−m²+4+m+1=0

−m²+m+6=0
m²−m−6=0
(m−3)(m+2)=0
m=3、ー2

答えが2つ出ましたね。正しいか確認をしてみましょう。
これが正しいかどうか確認するために、"m=3、m=ー2"を代入した式が、"x−1"で割り切れるかを計算してます。

m=3のとき

与えられた式は、"P(x)=x³−9x²+4x+4"

P(x)=(x−1)(x²−8x−4)

となり、きちんと割り切れますね。

m=−2のとき

与えられた式は、"P(x)=x³−4x²+4x−1"

P(x)=(x−1)(x²−3x+1)

となり、こちらもきちんと割り切れますね。

以上のことから、"m=3、m=−2"のときに題意を満たすことがわかります。
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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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