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14_80 高次方程式 / 剰余の定理と因数定理

因数定理とは[因数定理を用いた因数分解]

著者名: ふぇるまー
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因数定理

整式P(x)を"x−a"で割ったときの商を"Q(x)"、余りをRとすると

P(x)=Q(x) (x−a)+R

そして剰余の定理により

P(a)=R

が成り立ちました。
ここで、"R=0"の場合を考えてみましょう。

"P(a)=R=0"ということは、余りが0なので整式P(x)は"x−a"で割り切れるということです。このことから何がわかるかというと

・整式P(x)が"x−a"で割り切れて"P(x)=Q(x) (x−a)"となる、すなわち"x−a"がP(x)の因数であるとき、"P(a)=R=0"となる。

・逆に、"P(a)=R=0"となるとき、整式P(x)が"x−a"で割り切れて"P(x)=Q(x) (x−a)"となる、すなわち"x−a"がP(x)の因数となる。


これがわかります。この関係のことを因数定理といいます。


因数定理を用いた因数分解

この因数定理が何に役に立つかというと、次のような問題を解くときに有効です。

"x³+3x²−x−3"を因数分解しなさい


"x³+3x²−x−3"は、ぱっと見で因数分解するのは難しそうですね。そこで、"P(x)=x³+3x²−x−3"とおいたときに、P(x)=0となるxの値を探してみましょう。

どうやら"x=1"のときに、"P(x)=0"となりそうですね。ここで因数定理を使います。"P(1)=0"ということから、"P(x)"が"x−1"を因数にもつことがわかります。あとは

"x³+3x²−x−3"÷"x−1"をして因数分解しましょう。

 (x³+3x²−x−3)
=(x−1)(x²+4x+3)
=(x−1)(x+1)(x+3)


ポイントは、"P(x)=x³+3x²−x−3"とおいたときに、P(x)=0となるxの値をどれだけはやく探せるかです。ちなみに筆者は、0、1、2、3、4・・・と1つずつxに数字をあてはめて暗算をしながら探す派です。


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・因数定理とは[因数定理を用いた因数分解]

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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