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14_80 高次方程式 / 剰余の定理と因数定理

剰余の定理のわかりやすい解説

著者名: ふぇるまー
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剰余の定理

この単元では、整式"x²+bx+c"を、
・"P(x)=x²+bx+c"
・"Q(x)=x²+bx+c"

といった形にして考えていきます。整式であれば2次式でも3次式でも4次式でもかまいません。ここでは例として、"P(x)=x²+bx+c"としているだけです。

"P(x)=x²+bx+c"の意味は、"x=1"のときは"P(1)=1+b+c"となりますし、"x=k"のときは"P(k)=k²+bk+c"となります。これは2次関数の単元でやった"f(x)"と同じ考え方ですね。

整式の割り算

ここで、整式の割り算について考えます。整式P(x)を、"x−a"で割ったときの商をQ(x)、余をRとします。このとき

P(x)=Q(x) (x−a)+R

と表せますね。わからない人は、10を3で割ったとき、商が3で余が1となることを考えてみましょう。

10=3×3+1

と表せますよね。これと同じです。


さて、"P(x)=Q(x) (x−a)+R"に"x=a"を代入してみます。

P(a)=Q(a) (a−a)+R=R

これで何がわかるかというと、整式P(x)を、"x−a"で割ったときの余りRは、R=P(a)ということがわかります。大切なのでもう1度言います。

整式P(x)を"x−a"で割ったときの余りRは、
R=P(a)


これが剰余の定理です。
整式の面倒くさい割り算をわざわざせずに、余りだけを求めたいときに有効です。

練習問題

次の式を、( )内の式で割ったときの余りを求めてみましょう。
(1) 3x³−2x²+4x+3 (x−2)
(2) 2x³−x+4 (x+3)



(1) 3x³−2x²+4x+3 (x−2)

P(x)=3x³−2x²+4x+3とします。剰余の定理より、P(x)を"x−2"で割ったときの余りRは、"R=P(2)"となります。

P(2)=3・2³−2・2²+4・2+3=24−8+8+3=27

余りは"27"です。


(2) 2x³−x+4 (x+3)

P(x)=2x³−x+4とします。剰余の定理より、P(x)を"x−3"で割ったときの余りRは、"R=P(−3)"となります。

P(−3)=2・(−3)³−(−3)+4=−54+7=−47

余りは"−47"です。

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・剰余の定理のわかりやすい解説

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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