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14_80 高次方程式 / 2次方程式(判別式/係数の関係/数の大小)

2次方程式の実数解の符号

著者名: ふぇるまー
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2次方程式の解の符号

2次方程式"ax²+bx+c=0"の判別式を"D=b²-4ac"、2つの解を"α"と"β"としたとき、次のことが成り立ちます。

・α>0、β>0⇄D>0、α+β>0、αβ>0
・α<0、β<0⇄D>0、α+β<0、αβ>0
・αとβの符号が逆⇄αβ<0


では、この知識がどのような形で役立つのかを、練習問題を通してみてみましょう。

練習問題

2次方程式"2x²−2mx+m+4=0"が、異なる2つの正の解を持つときのmの範囲を求めなさい。


2次方程式"2x²−2mx+m+4=0"の2つの解をαとβとしたとき、α>0かつβ>0となるmの範囲を求めればよいわけですが、先ほどみた「α>0、β>0⇄D>0、α+β>0、αβ>0」をうまく使えば答えを求められそうです。

"α>0、β>0"であるためには、"D>0、α+β>0、αβ>0"である必要があるので

・D>0
・α+β>0
・αβ>0

この3つの式をそれぞれみていきましょう。

D>0

2次方程式"2x²−2mx+m+4=0"において、判別式"D"の値は

D=(−2m)²−4・2(m+4)=4m²−8m−32

これがD>0であればよいので

4m²−8m−32>0
m²−2m−8>0
(m−4)(m+2)>0

m<−2、4<m ー①

"α+β>0"と"αβ>0"

続いて"α+β>0"と"αβ>0"ですが、これはよく見てみると解と係数の関係と同じですね。

2次方程式"2x²−2mx+m+4=0"において、解と係数の関係により




これがそれぞれ"α+β>0"と"αβ>0"となるので

m>0 ー②
m>−4 ー③

以上求めた、①、②、③の範囲を同時に満たすmの範囲が、今回求めるものとなります。"m>4"のときに与えられた2次方程式が条件を満たすことがわかりますね。




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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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