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14_80 高次方程式 / 2次方程式(判別式/係数の関係/数の大小)

2数を解とする2次方程式[α+1とβ+1を解とする2次方程式を求める問題]

著者名: ふぇるまー
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2数を解とする2次方程式

2次方程式"x²−5x+6=0"の2つの解を"α","β"とするとき、"α+2","β+2"を解とする2次方程式を1つ求めなさい


与えられた2数を解とする2次方程式を求める問題の応用問題を考えてみましょう。

解法

まず、2次方程式"x²−5x+6=0"において解と係数の関係を適応します。





次に、求める2次方程式を"x²+bx+c=0"と仮定しましょう。(x²の係数が1のときの2次方程式を考えます)

題意より、この2次方程式"x²+bx+c=0"の2つの解が"α+2","β+2"となるわけですから、解と係数の関係により、





"(α+2)+(β+2)=−b"

α+β+4=−b

先ほど"α+β=5"と求めたのでこれを代入して

−b=9
b=−9


"(α+2)(β+2)=c"

αβ+2α+2β+4=c
αβ+2(α+β)+4=c

さきほど、"α+β=5","αβ=6"と求めたのでこれを代入して

c=6+2・5+4
c=20

以上のことから、求める2次方程式の1つは"x²−9x+20=0"となります。




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・2数を解とする2次方程式[α+1とβ+1を解とする2次方程式を求める問題]

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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