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14_80 高次方程式 / 2次方程式(判別式/係数の関係/数の大小)

与えられた2数を解とする2次方程式を求める問題

著者名: ふぇるまー
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与えられた2数を解とする2次方程式

2次方程式"ax²+bx+c=0"の2つの解を"α"と"β"としたとき、"ax²+bx+c=a(x−α)(x−β)"と表すことができました。(『複素数の範囲で2次式を因数分解する問題』より)

特に、"a=1"のとき、"a(x−α)(x−β)=(x−α)(x−β)"となるわけですが、このことから、"ax²+bx+c=0"を満たす式の1つは、

"(x−α)(x−β)=x²−(α+β)+αβ=0"

であることがわかります。
「満たす式の1つ」というには理由があって、

"ax²+bx+c=a(x−α)(x−β)"

は、aの値によって無数に考えられるからです。

練習問題

次の2数を解とする2次方程式を作りなさい。
○"1と"1−√3"


このような問題が与えられたら、指示がない限りは、"a(x−α)(x−β)"のa=1のときの式を答えればOKです。

よって求める式は、"1と"1−√3"を解とする2次方程式でx²の係数が1の場合の式です。"a=1、α=1、β=1−√3"(αとβは逆でもかまいません)としたとき、

"ax²+bx+c=a(x−α)(x−β)"の式は

ax²+bx+c=(x−1)(x−1+√3)

右辺を展開すると、

"(x−1)(x−1+√3)=x²−(2−√3)x+1−√3"

これが求める2次方程式の値となります。


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・与えられた2数を解とする2次方程式を求める問題

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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