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14_80 高次方程式 / 2次方程式(判別式/係数の関係/数の大小)

複素数の範囲で2次式を因数分解する問題

著者名: ふぇるまー
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複素数の範囲で2次式を因数分解

解と係数の関係より、

2次方程式"ax²+bx+c=0"の2つの解を"α"と"β"としたとき、



がわかりました。これを用いて、"ax²+bx+c=0"の左辺を因数分解する方法をみていきましょう。"ax²+bx+c=0"の左辺を変形していきます。







より





以上のことから、次のことがいえます。

2次方程式"ax²+bx+c=0"の2つの解を"α"と"β"としたとき、"ax²+bx+c=0"の左辺は、
"ax²+bx+c=a(x−α)(x−β)"
と変形することができる。


この考え方は、αとβが虚数解であっても同じで、因数分解することが難しい2次式を因数分解したいときに有効です。

練習問題

次の2次式を因数分解してみましょう。
(1) x²+2x+3
(2) 2x²+6


(1) x²+2x+3

"x²+2x+3"は簡単には因数分解できなさそうなので、 "x²+2x+3=0"としてこの2次方程式を満たすxの値を求める作戦で解いていきましょう。
解の公式を用いて答えを求めます。












"ax²+bx+c=0"の2つの解をαとβとしたとき、
"ax²+bx+c=a(x−α)(x−β)"
と変形できるので、"x²+2x+3=0"において、a=1、α=−1+√2 i、β=−1−√2 i(αとβは逆でもかまいません)を"a(x−α)(x−β)"に代入すると、

x²+2x+3=(x+1−√2 i)(x+1+√2 i)

と因数分解できますね。

(2) 2x²+6

"2x²+6"も簡単には因数分解できなさそうなので、"2x²+6=0"として、この2次方程式を満たすxの値を求めていきましょう。







以上のことから、a=2、α=√3 i、β=−√3 i(αとβは逆でもかまいません)を"a(x−α)(x−β)"にあてはめます。

2x²+6=2(x−√3 i)(x+√3 i)

と因数分解できます。


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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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