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14_80 高次方程式 / 2次方程式(判別式/係数の関係/数の大小)

虚数解を持つ2次方程式における「解と係数の関係」

著者名: ふぇるまー
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解と係数の関係

数学Ⅰで、2次方程式の解と係数の関係について学習したかと思います。どういうものかというと、


2次方程式"ax²+bx+c=0"の2つの解を"α"と"β"としたとき、



というものでした。
この関係は、数学Ⅱで学習する虚数解が出る2次方程式でも成り立ちます。ということで、本当に成り立つか確かめてみましょう。

2次方程式の解と係数の関係の証明

2次方程式"2x²+3x+4=0"を用いて、解と係数の関係を証明せよ


"2x²+3x+4=0"を解いていきます。
解の公式を用いて









この方程式の解を"α"と"β"とすると


とおくことができます。(αとβが逆でもかまいません。)

αとβの値がわかったので、解と係数の関係の式が成り立つか計算してみましょう。











さて、


となったかを確認してみましょう。

"2x²+3x+4=0"において、a=2、b=3、c=4なので
"α+β=−3/2"ということは、"α+β=−a/b"が成り立っていると言えます。

そして"αβ=2"ということは、"αβ=c/a"が成り立っていると言えます。

以上のことから、虚数解をもつ2次方程式でも解と係数の関係は成り立つことがわかりました。


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・虚数解を持つ2次方程式における「解と係数の関係」

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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