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14_80 高次方程式 / 2次方程式(判別式/係数の関係/数の大小)

虚数解をもつ2次方程式の解の判別[判別式"D"と解の個数を求める問題]

著者名: ふぇるまー
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虚数解をもつ2次方程式

数学Ⅰの2次方程式で学習した範囲では、2次方程式"ax²+bx+c=0"の解の個数は、判別式"D=b²−4ac"を用いて求めることができました。それをまとめると

・D>0のとき、異なる2つの実数解をもつ
・D=0のとき、1つの実数解をもつ
・D<0のとき、実数解は0個

しかし数学Ⅱで虚数解をもつ2次方程式を学習したことで、この定義が少し変わります。特に"D<0"のときに注目をして次をみてください。

D>0のとき、異なる2つの実数解をもつ

D=0のとき、1つの実数解をもつ
(1つの解のことを"重解"という)

D<0のとき、異なる2つの虚数解をもつ


数学Ⅱ以降では、"D<0"のとき「解なし」ではなく「異なる2つの虚数解をもつ」となります。

練習問題

次の2次方程式の解を判別しなさい。
(1) 3x²+4x+1=0
(2) x²+2x+1=0
(3) 3x²+2x+1=0


(1) 3x²+4x+1=0

判別式"D=b²−4ac"にあてはめて考えていきましょう。

D=4²−4・3・1=16−12=4>0

D>0なので、この式は2つの実数解をもつ。

(2) x²+2x+1=0

判別式Dより

D=2²−4・1=4−4=0

D=0なので、この式は1つの実数解(重解)をもつ

(3) 3x²+2x+1=0

判別式Dより

D=2²−4・3・1=4−12=−8<0

D<0なので、この式は異なる2つの虚数解をもつ。

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・虚数解をもつ2次方程式の解の判別[判別式"D"と解の個数を求める問題]

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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