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14_80 高次方程式 / 複素数

負の平方根の計算問題

著者名: ふぇるまー
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負の平方根

ここでは、"√-2"や"√-3"のように、ルートの中がマイナスのときにどう計算すればよいのかをみていきましょう。


まず、そもそも「ルートとは何だったか」を思い出しましょう。
"√2"は、2乗すると2となる数、"√3"は2乗すると3となる数のことでしたね。同じように考えると、

"√-2"は2乗すると−2となる数のことです。
これを念頭に次のことを覚えましょう。

"√-2"="√2 i"
ただし"√-1"="i"


"√-2"を2乗すると
(√-2)²=−2

"√2 i"を2乗すると
(√2 i)²=2i²=−2

なので、"√-2"="√2 i"であることがわかりますね。これを文字におきかえると



となります。たぶんこれが、教科書に載っている形でしょう。この変形がわかれば、負の平方根を使った計算が解けるようになります。早速問題を通してチェックしてみましょう。


練習問題

次の計算をしなさい。
(1) √-2+√-6
(2) √-16−√-4
(3) √-2×√-3
(4) √16÷√-2


(1) √-2+√-6

まず、負の平方根を、"i"を用いた形に変形します。

√-2=√2 i
√-6=√6 i

よって
√-2+√-6=√2 i+√6 i

(2) √-16−√-4

(1)と同じように、負の平方根を、"i"を用いた形に変形します。

√-16=√16 i=4i
√-4=√4 i=2i

よって
√-16−√-4=4i−2i=2i

(3) √-2×√-3

だんだん慣れてきましたね。負の平方根を、"i"を用いた形に変形します。

√-2=√2 i
√-3=√3 i

よって
√-2×√-3=√2 i×√3 i=√6 i²=−√6


(4) √-16÷√-2

負の平方根を、"i"を用いた形に変形します。

√-16=√16 i
√-2=√2 i

よって
√-16÷√-2=√16 i÷√2 i=√8 i=2√2 i

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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