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12_80 図形と計量 / 三角比(座標/半円を用いた三角比)

90°+θの三角比[加法定理を用いた公式の証明]

著者名: ふぇるまー
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加法定理を使った90°+θの三角比の公式の証明

θが0°≦θ≦90°のとき、次の公式が成り立ちます。





これらの公式を、加法定理を使って証明していきましょう。加法定理は数学Ⅱで学習する範囲なので、数学Ⅰしか学習していない人は、こういう解き方もあるのかと思うぐらいで大丈夫です。

図を用いた証明はこちらから。
90°+θの三角比[公式の証明]

証明

sin(90°+θ)

正弦の加法定理
"sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ"より

sin(90°+θ)=sin90°cosθ+cos90°sinθ

"sin90°=1","cos90°=0"より
sin(90°+θ)=sin90°cosθ+cos90°sinθ=cosθ

よって"sin(90°+θ)=cosθ"が成り立つことが証明されました。


cos(90°+θ)

余弦の加法定理
"cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ"より

cos(90°+θ)=cos90°cosθ−sin90°sinθ

"sin90°=1","cos90°=0"より
cos(90°+θ)=cos90°cosθ−sin90°sinθ=−sinθ

よって"cos(90°+θ)=−sinθ"が成り立つことが証明されました。

tan(90°+θ)

正接の加法定理


を使って

としたいところですが、tan90°という値は存在しないので、この計算式を解くことはできません。よって加法定理を使って"tan(90°+θ)"の公式の証明はできないことになります。

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・90°+θの三角比[加法定理を用いた公式の証明]

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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