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14_80 式と証明 / 二項定理

パスカルの三角形の性質

著者名: ふぇるまー
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(a+b)ⁿの展開


(a+b) =a+b
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a³b²+5ab⁴+b⁵

(a+b)ⁿを展開したときの項の係数だけを並べると

(a+b) :1 1
(a+b)²:1 2 1
(a+b)³:1 3 3 1
(a+b)⁴:1 4 6 4 1
(a+b)⁵:1 5 10 10 5 1

"(a+b)ⁿ"の係数だけを集めて、次の図のように三角形の形にまとめたものを、パスカルの三角形といいます。
ALT

パスカルの三角形で並べた係数の並び方には規則性があります。
ある数は、左上と右上の数字の和


この三角形を用いると、"(a+b)ⁿ"の展開が楽になります。例えば、"(a+b)⁵"を展開する場合を考えます。パスカルの三角形から"(a+b)⁵"を展開したときの係数の並びは、左から

"1 5 10 10 5 1"

また、"(a+b)⁵"を展開したときの項は左から、

"a⁵ a⁴b a³b² a²b³ ab⁴ b⁵"

の6つなので、これらを組み合わせて

"(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a³b²+5ab⁴+b⁵"

ちなみに(a+b)の100乗を計算しようと思うと、パスカルの三角形を100段まで求めなければならず実用的ではありません。こういうときは、次に学習する二項定理を用いて展開していくことになります。

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・パスカルの三角形の性質

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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