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14_80 式と証明 / 二項定理

二項定理の計算問題

著者名: ふぇるまー
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二項定理とは

パスカルの三角形を利用して、次の定理を導くことができます。

(a+b)ⁿ=nC₀aⁿ+nC₁aⁿ⁻¹b+nC₂aⁿ⁻²b²+…+nCraⁿ⁻ʳbʳ+…+nCn₋₁abⁿ⁻¹+nCnbⁿ

※nCrのnとrは下付き文字


この定理を二項定理といいます。
指数の数が大きいときに、この定理は力を貸してくれます。

では早速、二項定理を用いて次の問題を解いてみましょう。

練習問題

次の式を二項定理を用いて計算しなさい
(1) (a+b)⁵
(2) (x−2y)⁴


(1) (a+b)⁵

 (a+b)⁵
=₅C₀a⁵+₅C₁a⁴b+₅C₂a³b²+₅C₃a²b³+₅C₄ab⁴+₅C₅b⁵
=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

(2) (x−2y)⁴

 (x−2y)⁴
=₄C₀x⁴+₄C₁x³(−2y)+₄C₂x²(−2y)²+₄C₃x(−2y)³+₄C₄(−2y)⁴
=x⁴-8x³y+24x²y²-32xy³+16y⁴
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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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