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14_80 式と証明 / 多項式の乗法と除法

因数分解の公式[3次式の因数分解]

著者名: ふぇるまー
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3次式の因数分解

数学Ⅰでは、2次式の展開や因数分解について学習をしました。数学Ⅱでは、3次式の展開や因数分解について学習をします。ここでは3次式の因数分解についてみていきましょう。

展開の公式は4つありましたが、因数分解の公式は次の2つを覚えましょう。

・a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
・a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)


よく見ると、展開の公式
・(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
・(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
を逆さまにしたものですね。

練習問題

因数分解の公式は「考えるより慣れろ」です。様々な問題を解いて展開に慣れていきましょう。

問題 次の式を因数分解せよ
(1) 64x³+125y³
(2) x³-64


(1) 64x³+125y³


64x³+125y³=(4x)³+(5y)³

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)の公式より

(4x)³+(5y)³=(4x+5y)(16x²-20xy+25y²)

因数分解を始めるまえに、"(4x)³"のように係数も一緒にまとめることができないか、よく見てみる。


(2) x³-64

"64"が"4³"なことに気づけると、一発で答えを求めることができます。

x³-64=x³-4³

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)の公式より、

 x³-4³
=(x-4)(x²+4x+4²)
=(x-4)(x²+4x+16)

3乗の因数分解のときには、"○³+△³"または"○³-△³"の形を作ることが重要



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・因数分解の公式[3次式の因数分解]

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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