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14_80 式と証明 / 多項式の乗法と除法

乗法公式の解き方[3次式の展開]

著者名: ふぇるまー
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3次式の乗法公式

数学Ⅰでは、2次式の展開や因数分解について学習をしました。数学Ⅱでは、3次式の展開や因数分解について学習をします。ここでは3次式の展開についてみていきましょう。

まず、次の4つの公式を覚えましょう。

・(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
・(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
・(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
・(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³


例えば"(x+2)³"という式があったとき、地道に計算をしても良いのですが、公式を使えると気がづくことができれば、計算のスピードがあがります。

練習問題

展開の公式は「考えるより慣れろ」です。様々な問題を解いて展開に慣れていきましょう。

問題 次の式を展開せよ。
(1) (x+2)³
(2) (2x-1)³
(3) (x-1)(x²+x+1)
(4) (x+1)(x²ーx+1)


(1) (x+2)³

"(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³"の公式より

 (x+2)³
=x³+3・x²・2+3・x・2²+2³
=x³+6x²+12x+8

(2) (2x-1)³

"(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³"の公式より
 
 (2x-1)³
=(2x)³-3・(2x)²・1+3・(2x)・1²-1³
=8x³-12x²+6x-1

(3) (x-1)(x²+x+1)

地道に展開をしても問題ありませんが、
"(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³"の公式に気がつくことができれば、すぐに解決です。

(x-1)(x²+x+1)=x³-1

(4) (x+1)(x²ーx+1)

こちらも地道に展開をしても問題ありませんが、
"(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³"の公式に気がつくことができれば、すぐに解決です。

(x+1)(x²ーx+1)=x³+1

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・乗法公式の解き方[3次式の展開]

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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