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12_80 2次関数 / 2次関数とグラフ(定義域/値域)

定義域と値域から2次関数の式を求める問題

著者名: ふぇるまー
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2次関数の定義域と値域

問題
a>0である2次関数"y=ax²−4ax+4a+b"の定義域が−1≦x≦3のとき、その値域は−5≦y≦4です。このとき、定数aとbの値を求めてみましょう


2次関数の定義域値域を使った問題ですね。
効率よく解くコツは、グラフをうまく使うことです。


解法

ということでまずはグラフを書いてみましょう。
a>0なので、グラフは下に凸な放物線を描くことになります。

"y=ax²−4ax+4a+b"を平方完成すると

y=a(x²−4x+4)+b
y=a(x−2)²+b

なので、このグラフは(−2、b)を頂点とする下に凸なグラフとなります。
すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でOKです。
ALT



このグラフをもとに、与えられた条件を考えていきます。
定義域が−1≦x≦3のときの値域をグラフから読み取ると

b≦y≦9a+b

となりますね。このことから
b=−5
9a+b=4

これを整理して
a=1

が求まります。正しいか確認するためには、a=1、b=−5を与えられた式に代入して、−1≦x≦3の範囲で値域がどうなるかをチェックしてみると良いでしょう。
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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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