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12_80 2次関数 / 2次関数とグラフ(定義域/値域)

2次関数の平行移動を使った問題[求める式を"y=a(x−p)²+q"とおく場合]

著者名: ふぇるまー
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2次関数の平行移動

問題
y=2x²を平行移動した放物線が点(1、ー2)を通る。また、この放物線の頂点がy=ー2x²上にあるとき、このグラフの式を求めなさい。


y=ax²のグラフを平行移動して、
"y=a(x-p)²+q"
の形にすることはすでに学習済みかと思います。

この平行移動のテクニックを使って問題を解く練習をしましょう。

[ポイント]
求める2次関数の式を、"y=ax²+bx+c"とおくのか、"y=a(x−p)²+q"とおくのかを見極める。

解法

求める2次関数の式をどうおくかですが、設問で「放物線の[red頂点が"y=ー2x²上にある"」とあるので、頂点の値が把握しやすい"y=a(x−p)²+q"とおいて考えます。「なんで?」という人は、一度"y=ax²+bx+c"で解いてみると理解できると思います。

"y=a(x−p)²+q"はy=2x²を平行移動した放物線なので、係数"a=2"となることから、

"y=2(x−p)²+q" ー①

設問で与えられた条件は、①が「点(1、ー2)を通る」ことと、①の頂点が「頂点がy=−2x²上にある」の2つなので、この2つを使って考えていきましょう。

点(1、ー2)を通る

①が点(1、ー2)を通るのでこれを代入します。

−2=2(1−p)²+q
−2=2(1−2p+p²)+q
−2=2−4p+2p²+q
2p²−4p+q=4 ー②

頂点がy=−2x²上にある

"y=2(x−p)²+q"の頂点は(p、q)ですが、これが"y=ー2x²"上にあることから

q=−2p² ー③


③を②に代入すると
2p²−4p−2p²=4
−4p=4
p=−1

これを③に代入して
q=−2(−1)²
q=−2

以上のことから求める放物線の式は
y=2(x−1)²−2

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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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