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12_80 2次関数 / 2次方程式/2次不等式

判別式の応用[2次方程式"2x²+2mx+2m+4=0"が重解をもつためのmの範囲を求める問題]

著者名: ふぇるまー
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判別式を用いた応用問題

判別式"D=b²−4ac"を使った応用問題を一緒に解いてみましょう。

問題
2次方程式"2x²+2mx+2m+4=0"が重解をもつような定数mの値を求めましょう。そしてそのときの重解を求めなさい。


mの値を求める

別のテキストで2次方程式"2x²+4x−m=0"が異なる2つの実数解をもつような定数mの範囲を求めましょう。という問題にチャレンジしていますが、考え方は同じです。

2次方程式が重解を持つための条件を思い出しましょう。
そう、"D=0"でしたね。これを設問の式にあてはめてみます。

D=b²−4acにおいて、a=2、b=2m、c=2m+4を代入すると

(2m)²−4・2・(2m+4)=4m²−16m−32

D=0より
4m²−16m−32=0
m²−4m−8=0

解の公式を用いてmの値を求めていきます。







つまり"m=2±2√3"のとき、2次方程式"2x²+2mx+2m+4=0"が重解をもつということになります。

方程式の解を求める

mの値がわかったところで、"2x²+2mx+2m+4=0"の解を求めましょう。
"m=2±2√3"どちらでも式は成り立つようなので、まず"m=2+2√3"を式に代入して計算をしていきましょう。

m=2+2√3のとき

"2x²+2mx+2m+4=0"に"m=2+2√3"を代入すると

2x²+2(2+2√3)x+2(2+2√3)+4=0
x²+(2+2√3)x+2+2√3+2=0
x²+(2+2√3)x+4+2√3=0

あとは、解の公式を用いて答えを求めます。






以上から、"m=2+2√3"のとき、"−1−√3"が2次方程式の解となります。

m=2−2√3のとき

続いて"2x²+2mx+2m+4=0"に"m=2−2√3"を代入して計算します。

2x²+2(2−2√3)x+2(2−2√3)+4=0
x²+(2−2√3)x+2−2√3+2=0
x²+(2−2√3)x+4−2√3=0

解の公式を用いて答えを求めます。






以上から、"m=2−2√3"のとき、"−1+√3"が2次方程式の解となります。
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・判別式の応用[2次方程式"2x²+2mx+2m+4=0"が重解をもつためのmの範囲を求める問題]

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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