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12_80 2次関数 / 2次方程式/2次不等式

2次方程式・判別式[x²+2kx-k+2=0が異なる2つの負の解をもつときのkの範囲を求める問題]

著者名: ふぇるまー
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2次方程式の解の符号

2次方程式"x²+2kx−k+2=0"が、異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めてみましょう。


この問題は、"y=x²+2kx−k+2"としたときに「この2次関数のグラフがx軸と異なる2点で交わり、しかもその2点がx軸の負の範囲にある」と言い換えることができます。
ここに気がつけるかがポイントです。

「x軸と異なる2点で交わり、しかもその2点がx軸の負の範囲にある」状態をグラフにしてみましょう。すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でOKです
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では、グラフが上図のようになるために、どのような条件を満たせばよいのかを考えていきましょう。

(1) グラフとx軸との交点が2つ
(2) グラフの軸がx<0
(3) グラフとy軸との交点のy座標が「正」

この3つの条件を満たせば、図示した位置にグラフが放物線を描きます。

グラフとx軸との交点が2つ

"y=x²+2kx−k+2"のグラフがx軸と異なる2点で交わるための条件を思い出しましょう。そう、"x²+2kx−k+2=0"としたときの判別式DがD>0の場合ですね。

D=b²−4acなので、a=1、b=2k、c=ーk+2を代入すると

(2k)²−4・1・(−k+2)=4k²+4k−8

D>0なので、
4k²+4k−8>0
k²+k−2>0
(k+2)(k−1)>0
k<−2、1<k ー①

(2) グラフの軸がx<0

"y=x²+2kx−k+2"を平方完成すると、y=(x+k)²−k²−k+2

グラフの軸がx<0ということは、"−k<0"
整理してk>0 ー②

(3) グラフとy軸との交点のy座標が「正」

グラフをy軸とが接する点のy座標を求める為には、"y=x²+2kx−k+2"にx=0を代入します。"y=−k+2"が求まりますね。

−k+2>0
−k>−2
k<2 ー③

①、②、③を同時に満たす定数kの範囲を探すと、"1<k<2"が求まります。

求める2次関数のグラフのイメージをあらかじめ図にかく。そしてその図の通りに放物線を描くためにはどのような条件を満たせばよいのかを考える。


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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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