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12_80 2次関数 / 2次方程式/2次不等式

2次不等式の応用・判別式[x²+4x+k>0の解がすべての実数となるkの範囲を求める問題]

著者名: ふぇるまー
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つねに成り立つ不等式

x²+4x+k>0の解が「すべての実数」となるkの範囲を求めなさい


"y=ax²+bx+c"が下に凸なとき、2次関数のグラフがx軸との共有点をもたないためには、判別式がD<0である必要がありました。

この性質を利用して、「x²+4x+k>0の解がすべての実数」となるkの範囲を求めることが可能です。
まずイメージしやすいように、"y=x²+4x+k"としてグラフをかいてみましょう。
すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でOKです

「x²+4x+k>0の解がすべての実数」になるということは、"y=x²+4x+k"のグラフがつねにx軸よりも上にあるということと等しいです。ですので、グラフは次のようになります。

ALT


ここで1つ思い出しましょう。
"y=x²+4x+k"のグラフがつねにx軸よりも上にある"とはどういうことでしょうか。

そう、判別式DがD<0であれば、与えられた関数のグラフは常にx軸の上に放物線を描きますよね。ということで

"D=b²-4ac"にa=1、b=4、c=kを代入します。

 b²-4ac
=4²-4・1・k
=16ー4k

D<0より
16ー4k<0
ー4k<-16
k>4

これが条件を満たすkの範囲となります。
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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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