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12_80 2次関数 / 2次方程式/2次不等式

2次不等式の解き方[(x−α)²>0、(x−α)²<0の形をした問題]

著者名: ふぇるまー
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グラフがx軸と接する場合

"ax²+bx+c>0"を変形して、"(x−α)²>0"とできるタイプの2次不等式の解き方についてみていきます。まずは次のことを覚えましょう。

"ax²+bx+c=0の解がαのみのとき(重解)
・"ax²+bx+c>0"の解は、x=α意外のすべての実数
・"ax²+bx+c<0"の解は、解なし

※"≧","≦"の場合とは答えがかわってくることに注意が必要です。

実際に問題を解きながら確認してみましょう。
問題 次の2次不等式を解きなさい
(1) x²+2x+1>0
(2) x²+2x+1<0


(1) x²+2x+1>0

まず、"x²+2x+1=0"として、この2次方程式の解をもとめます。

x²+2x+1=0
(x+1)²=0
x=−1

先ほどの決まり事に従うと、"x²+2x+1>0"の解は、「x=−1以外のすべての実数」となりますが、これだとイメージがしにくいので、"y=x²+2x+1"のグラフをかいて確認してみましょう。

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"y=x²+2x+1"のグラフは、頂点がx軸上にある(x軸と接する)放物線を描きます。つまり、"x=−1"のときに、"y=0"となるわけですね。

このとき、y>0となるためには、xの値がx=−1以外である必要があることがグラフから読み取れるはずです。

(2) x²+2x+1<0

一方で、"x²+2x+1<0"の場合はどうでしょう。
グラフより、"y=x²+2x+1"が0より小さくなる場合はありません。つまり、「解なし」が答えとなります。
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・2次不等式の解き方[(x−α)²>0、(x−α)²<0の形をした問題]

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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