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12_80 2次関数 / 2次方程式/2次不等式

2次不等式の解き方[因数分解してから解く問題]

著者名: ふぇるまー
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因数分解してから解く2次不等式の問題

"ax²+bx+c>0"を変形して、"(x−α)(x−β)>0"とできるタイプの2次不等式の解き方についてみていきます。まずは次のことを覚えましょう。

"ax²+bx+c=0の解がα、β(α>β)のとき
"ax²+bx+c>0"の解は、x<β、α<x
"ax²+bx+c<0"の解は、β<x<α


では実際に問題を解いて確認してみましょう。

問題 次の2次不等式を解きなさい
(1) x²−2x−3>0
(2) x²−2x−3<0


(1) x²−2x−3>0

まず"x²−2x−3=0"として、この2次方程式の解を求めます。

x²−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
x=−1、3

先ほどの決まりに従うと、「x<−13<x」が答えとなるのですが、これだとイメージがしにくいので、"y=x²−2x−3"のグラフをかいて確認をしてみましょう。
ALT


このグラフでy>0となるのは、xが赤矢印の範囲にある場合ですね。たしかに、「x<−13<x」のときにy>0と読み取ることができます。

(2) x²−2x−3<0

同じように、"x²−2x−3=0"として、この2次方程式の解を求めます。

x²−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
x=−1、3

先ほどの決まりに従うと、「−1<x<3」が答えとなります。同様にして"y=x²−2x−3"のグラフをかいて確認をしてみましょう。
ALT


このグラフでy<0となるのは、xが赤矢印の範囲にある場合ですね。たしかに、「−1<x<3」のときにy<0と読み取ることができます。

理屈がわかったところで、再度以下のことを覚えましょう。

"ax²+bx+c=0の解がα、β(α>β)のとき
"ax²+bx+c>0"の解は、x<β、α<x
"ax²+bx+c<0"の解は、β<x<α

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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