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12_80 2次関数 / 2次関数のグラフとx軸の位置関係・共有点・判別式

2次関数と直線の共有点[y=-x²+2とy=-4x+kが共有点を持つには]

著者名: ふぇるまー
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2次関数と直線の共有点

2次関数"y=ax²+bx+c"と直線"y=a'x+b'"の共有点を求めるには、2つの式を連立させて、2つの式を同時に満たすxとyの値を求めるんでしたね。

ここでは応用編で、"y=−x²+2"と"y=−4x+k"が共有点を持つためのkの範囲について考えてみたいと思います。共有点の座標を求めるのではなくて、kの値の範囲を求めるという点がこれまでとは異なる点ですね。難しそうな問題ですが、実は解くための順番が決まっているので、しっかりとパターンを覚えるようにしましょう。

解法

その①:2つの式を連立させる

y=−x²+2
y=−4x+k

を連立させて整理します。

−x²+2=−4x+k
x²−4x+k−2=0 ー①

その②:判別式Dを用いる

①で求まった2次方程式に、判別式Dを用います。

2次関数のグラフとx軸との共有点の数を調べるのと同様に、D>0であれば共有点は2つ、D=0であれば共有点は1つ、D<0であれば共有点はなしとなります。

D=b²−4acにa=1、b=−4、c=k−2を代入します。
(−4)²−4・1・(k−2)=16−4k+8=24−4k

共有点を持つためには、D≧0であればよいので
24−4k≧0
−4k≧ー24
k≦6

つまり"k≦6"のときに"y=−x²+2"と"y=−4x+k"が共有点を持つことになります。


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・2次関数と直線の共有点[y=-x²+2とy=-4x+kが共有点を持つには]

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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