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12_80 2次関数 / 2次関数のグラフとx軸の位置関係・共有点・判別式

2次関数の平行移動を使った問題

著者名: ふぇるまー
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2次関数の平行移動を使った問題

y=ax²のグラフを平行移動して、
"y=a(x-p)²"
"y=ax²+q"
"y=a(x-p)²+q"
の形にすることはすでに学習済みかと思います。

ここでは、これらの平行移動のテクニックを使った練習問題を一緒に解いて、理解を深めていきましょう。

問題

y=2x²のグラフを平行移動したもので、(1、3)と(−1、11)を通る2次関数の式を求めなさい


<ヒント>
y=ax²のグラフを平行移動して
・"y=a(x-p)²"
・"y=ax²+q"
・"y=a(x-p)²+q"
としても、x²の係数であるaの値は変わりません。つまり"y=2x²"を平行移動したということは、平行移動した後の式は、"y=x²+bx+c"とおくことができるわけです。

ちなみに"y=2(x−p)²+q"とおくことも可能ですが、今回与えられた条件では、この式で解くことはできません。「なんで?」という人は、一度"y=2(x−p)²+q"で解いてみると理解できると思います。

解法

y=2x²のグラフを平行移動したことより、求める2次関数の式は、

"y=2x²+bx+c" ー①

とおくことができます。この式が(1、3)と(−1、11)を通ることから、(x=1、y=3)、(x=−1、y=11)をそれぞれ代入していきます。

(1、3)を通るとき

(x=1、y=3)を①に代入して

3=2+b+c
b+c=1 ー②

(−1、11)を通るとき

(x=−1、y=11)を①に代入して

11=2−b+c
−b+c=9 ー③

②+③より
2c=10
c=5

これを②に代入して
b+5=1
b=−4

以上のことから、b=−4、c=5と求まりました。
これを①に代入します。

y=2x²−4x+5

これが正しいかを確認するために、(x=1、y=3)、(x=−1、y=11)をそれぞれ代入したときに式が成り立つかを計算してみましょう。

・(x=1、y=3)のとき
右辺=2・1²−4・1+5=2−4+5=3=左辺

・(x=−1、y=11)のとき
右辺=2・(−1)²−4・(−1)+5=2+4+5=11=左辺

よってこの式が正しいことがわかりました。

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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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