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12_80 2次関数 / 2次関数のグラフとx軸の位置関係・共有点・判別式

2次関数の練習問題[y=a(x−p)²+qを使って式を求める]

著者名: ふぇるまー
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問題

頂点のx座標が1で、その他に2点(2、7)、(4、31)を通る2次関数の式を求めなさい。


<ヒント>
2次関数の式を求めるためには、求める2次関数の式を、"y=ax²+bx+c"または"y=a(x−p)²+q"とおいて、これらの式に与えられた点の座標の数値を代入していくことがほとんどです。

ここで問題となるのは、"y=ax²+bx+c"と"y=a(x−p)²+q"のどちらを用いるかですが、これは与えられた条件によって異なります
今回は、頂点の座標が1、すなわち"y=a(x−p)²+q"において"p=1"がすでに与えられているのでこちらの式を使いましょう。

解法

与えられた条件より、頂点のx座標が1なので、求める式は"y=a(x−1)²+q"とおくことができます。この式が2点(2、7)、(4、31)を通ることからこれらの値を代入します。

(2、7)を通るとき

x=2、y=7を代入して

7=a(2−1)²+q
a+q=7 ー①

(4、31)を通るとき

x=4、y=31を代入して

31=a(4−1)²+q
9a+q=31 ー②


次に、①と②の連立方程式を解いて、aとqの値を求めていきます。
①−②より

−8a=−24
a=3

これを①に代入して
3+q=7
q=4

以上のことから求める式は、"y=3(x−1)²+4"であることがわかりました。



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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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