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12_80 2次関数 / 2次関数の最大・最小値

2次関数を使った文章問題[最大値と最小値の求め方]

著者名: ふぇるまー
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2次関数の文章問題

グラフをかいて2次関数の最大値・最小値を求める方法がわかったところで、最大値最小値を用いる文章問題にチャレンジしてみましょう。

問題

長さ12cmの針金を折り曲げて長方形を作る。そのうち1つの辺の長さをx(cm)とし、出来上がった長方形の面積をy(cm²)としたとき、yが最大となるときの値と、そのときのxの値を求めなさい。


文章問題を解くためには、設問から式をきちんと立てられるかがポイントです。式さえ立てられれば、これまで学習してきた通りに、最大値と最小値を求めることができますからね。

長方形の面積yをどのような式で表すか、考えてみましょう。

解答

設問より、長方形の1辺の長さがxです。このとき、もう1辺の長さはどのように表すことができるでしょうか。

仮に、もう1辺の長さをz(cm)としたとき、長方形の辺の長さの合計が12cmであることから

2x+2z=12
x+z=6
z=6−x

と表すことができますね。このことから長方形の面積yは

y=x×(6−x)=−x²+6x

そして長方形の辺の長さは必ず0より大きいので
・x>0
・6−x>0

まとめて、"0<x<6"であることもわかりました。
"y=−x²+6x"という式が立てられたので、あとは"0<x<6"の範囲で、この式の最大値がどうなるのかを求めていきましょう。

"y=−x²+6x"を平方完成すると"y=−(x−3)²+9"となるので、これをもとにグラフをかくと次のようになります。
ALT


グラフより、x=3のときにyの値は最大となり、その値が9であることがわかりますね。

答え 最大値9(x=3)

いまみてきたように、文章問題は、文章にのっとってうまく式を立てられるかどうかがポイントです。


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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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