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12_80 2次関数 / 2次関数のグラフとx軸の位置関係・共有点・判別式

2次関数のグラフの対称移動[y=ax²+bx+cのグラフをx軸、y軸、原点に関して対称移動]

著者名: ふぇるまー
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対称移動とは

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座標上の点Aと、点A'の関係について考えてみましょう。
点Aと点A'のy座標は等しく、点Aのx座標はa、点A'のx座標は-aなので、この2つの点はy軸から等しい距離にあることがわかります。別の言い方をすると、点Aをy座標を基準に対称に移動した点が点A'であるといえます。

同じように点Aと点Bの関係を考えてみると、点Aをx座標を基準に対称に移動した点が点Bです。

このように、「○○に関して対称に移動させる」ことを対称移動といいます。

グラフの対称移動

対称移動を行うのは点だけではなくグラフも同様です。点の対称移動に比べてグラフの対称移動のほうがややこしさは増します。そのために点の対称移動よりもグラフの対称移動のほうが圧倒的に問題に出されるので、しっかりとおさえるようにしておきましょう。

次のグラフを見てください。
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①の位置にあるグラフを対称移動します。
x軸に関して対称移動すると②の位置に、y軸に関して対称移動すると③の位置に、原点に関して対称移動すると④の位置にグラフは移動します。

「x軸」、「y軸」、「原点」この3つに関してというのはベーシックな問題でよく質問されるところです。

グラフの位置がどのように移動するかは理解できましたね。
次は、グラフの式をどうやって求めるかについて説明していきます。

説明するもなにも、次の3つの決まり事を覚えるだけです。
仮に①のグラフの式をy=ax²+bx+cとすると

x軸に関して対称移動して②としたときは、yを−yに入れ替えて
−y=ax²+bx+c


y軸に関して対称移動して③としたときは、xを−xに入れ替えて
y=a(−x)²+b(−x)+c


原点に関して対称移動して④としたときは、xを−xに、yを−yに入れ替えて
−y=a(−x)²+b(−x)+c


では早速、練習問題を通して、対称移動した後の2次関数のグラフの式を求める方法を身につけていきましょう。

練習問題

問題 y=x²−2x+2のグラフを(1)x軸に関して、(2)y軸に関して、(3)原点に関してそれぞれ対称移動したときの式を求めなさい。


(1)x軸に関して対称移動

x軸に関して対称移動ということは、先ほどの決まり事より、y=x²−2x+2のyを−yに置き換えればOKですね。

−y=x²−2x+2を整理すると
y=−x²+2x−2

(2)y軸に関して対称移動

y軸に関して対称移動ということは、先ほどの決まり事より、y=x²−2x+2のxを−xに置き換えればOKですね。

y=(−x)²−2(−x)+2を整理すると
y=x²+2x+2

(3)原点に関して対称移動

原点に関して対称移動ということは、先ほどの決まり事より、y=x²−2x+2のxを−xに、yをーyに置き換えればOKですね。

−y=(−x)²−2(−x)+2を整理すると
y=−x²−2x−2

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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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