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12_80 2次関数 / 2次関数のグラフとx軸の位置関係・共有点・判別式

2次関数のグラフの平行移動の解き方[y=ax²+bx+cをx軸にp、y軸にq平行移動する]

著者名: ふぇるまー
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2次関数のグラフの平行移動


y=x²+4x+9

ここでは、この関数のグラフをx軸方向に4、y軸方向に−2平行移動したときに得られる放物線の方程式を求めてみましょう。

"y=ax²+bx+c"のグラフをx軸方向にp、y軸方向にq移動するというタイプの問題では、2通りの解き方があります。

①グラフの頂点を求めて、頂点を平行移動して考える方法
②"y=ax²+bx+c"のxをx−pに、yをy-qに置き換えて計算する方法


それぞれ説明していきましょう。

グラフの頂点を求めて、頂点を平行移動する方法


y=x²+4x+9を平方完成すると、"y=(x+2)²+5"なので、この関数のグラフは(−2、5)を頂点とすることがわかります。

グラフを平行移動することは、グラフの頂点を平行移動することと同義ですので、与えられた条件の通り、頂点をx軸方向に4、y軸方向に−2平行移動していきます。
(−2、5)をx軸方向に4、y軸方向に−2平行移動させると(2、3)となりますね。ここまで求められたら、あとは(2、3)を頂点とする関数の式を求めればOKです。

求める式をy=a(x−p)²+qとしたとき、p=2、q=3はすでに求まりました。残りはaですが、y=x²+4x+9を平行移動するので、aは1となります。

y=(x−2)²+3=x²−4x+7

xをx−4に、yをy−(−2)に置き換えて計算する方法

続いてもっと楽に解ける方法を紹介します。

"y=ax²+bx+c"のグラフをx軸方向にp、y軸方向にq移動した後の式を求めるためには、xをx−pに、yをy−qに置き換えて計算する


では与えられた式を使って実際に計算してみましょう。

"y=x²+4x+9"をx軸方向に4、y軸方向に−2平行移動するので、xをx−4、yをy−(−2)、すなわちy+2に置き換えてみます。
※yの値は特に注意しましょう。

y+2=(x−4)²+4(x−4)+9
y=x²−8x+16+4x−16+9−2
y=x²−4x+7

ということで、①の解き方で求めた式と同じものが求まりましたね。
計算をする場合は②の方が圧倒的に早いので、②の方法は特におさえるようにしておきましょう。
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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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