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12_80 数と式/集合 / 集合と命題

命題["すべての"と"ある"の否定]

著者名: ふぇるまー
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"すべての"と"ある"の否定

すべての実数xについて、x²>0 ー①
ある実数yについて、y²≦0    ー②


この2つの命題を否定してみましょう。
ここでポイントとなるのは、"すべての"と"ある"の否定のしかたです。次の2つのことを覚えましょう。理屈よりも覚えてしまった方が早いかもしれません。

命題「すべての実数xについて、pである」の否定は、「ある実数xについて


命題「ある実数yについて、qである」の否定は、「すべての実数yについて


"すべて"を否定すると"ある"に、"ある"を否定すると"すべて"になります。

命題①の否定

命題①「すべての実数xについて、x²>0」を否定しましょう。

まず、"すべての"を"ある"に変更します。
ある実数xについて○○○○○○○○○

次に○に入る部分を考えます。つまり「x²>0」を否定するということですね。
"x²>0"の否定は、"x²≦0"です。(x²<0ではありませんからね。)

このことから、「ある実数xについてx²≦0」が、命題①の否定となります。

命題②の否定

命題②「ある実数yについて、y²≦0」を否定しましょう。

まず、"ある"を"すべての"に変更します。
すべての実数yについて○○○○○○○○○

次に、○に入る部分を考えます。つまり「y²≦0」を否定するということですね。
"y²≦0"の否定は、"y²>0"です。(y²≧0ではありませんからね。)

このことから、「すべての実数yについて、y²>0」が命題②の否定となります。


ちなみに、命題①は偽で、命題②は真です。
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2013 数学Ⅰ 東京書籍

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