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12_80 数と式/集合 / 集合と命題

背理法を用いた命題の証明["m+n√5"="-2+3√5"をみたす有理数m,nを求める問題]

著者名: ふぇるまー
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背理法の練習問題

ここでは、背理法を使った発展問題「"m+n√5"="-2+3√5"をみたす有理数m,nを求めよ」を通して、背理法への理解を深めていきましょう。このテキストに進むまえに、「背理法を用いた命題の証明["m+n√5=0"ならば"m=n=0"を証明する問題]」をしっかりと理解しておくことをお勧めします。

問題

"m+n√5"="-2+3√5"をみたす有理数m,nを求めなさい

このたぐいの問題は、解法のパターンが決まっているので、解法をきちんと身につけるようにしましょう。

まず最初に、この問題を解くためには、次の性質を理解している必要があります。

有理数pとqについて、
p+q√5=0ならばp=q=0
(解説と証明はこちら)

ステップ1

"m+n√5"="-2+3√5"を"p+q√5=0"の形に変形する


つまり右辺を左辺に移行して、左辺=0の形を作るということです。
"m+n√5"="-2+3√5"の右辺を左辺に移行して、共通項でくくります。

(m+2)+(n−3)√5=0

mとnが有理数なので、(m+2)と(n−3)もまた有理数となります。
だからここで、"有理数pとqについて、p+q√5=0ならばp=q=0"という性質が使えるのです。この性質と照らし合わせて

"(m+2)+(n−3)√5=0"ならば、"(m+2)=(n−3)=0"

となることがわかります。
あとはこの式を解いてm=−2、n=3が求まります。

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・背理法を用いた命題の証明["m+n√5"="-2+3√5"をみたす有理数m,nを求める問題]

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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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