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12_80 数と式/集合 / 集合と命題

命題[背理法を用いた証明と練習問題]

著者名: ふぇるまー
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命題の証明

集合の単元では、命題の対偶を確かめる方法、そしてここで説明していく背理法とよばれる方法を用いて証明を行うパターンが多いですので、この背理法もしっかりマスターしていきましょう。

背理法とは

まず、そもそも背理法とは?ですが。

命題:「p⇒q」

を証明するのに用いる、証明法の1つです。
背理法を使った証明は、以下の手順をおってやります。流れは1通りと決まっていますので、まずは証明の流れをおさえるようにしましょう。

その1

」と仮定する。

その2

」を証明する過程で、「」が成り立たないことを発見する。(矛盾を発見する)

その3

矛盾があるということは、そもそも「」とした仮定が間違っているのではないか。

結論

は間違いだから、「」は正しい。

背理法で命題を証明するには、与えられた命題の結論qを否定したが成り立つかどうかを利用する。


背理法は、様々な問題を解くことで身に付いていきますので、早速、練習問題を通して、背理法になれていきましょう。

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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